EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

1 / G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ] [-1] = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:[1]

onde  é o determinante do tensor métrico,  é o escalar de curvatura de Ricci, e , onde  é a constante gravitacional de Newton e  é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:^[1]

${\displaystyle S=-{1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x\;,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle g}$ é o determinante do tensor métrico, ${\displaystyle R}$ é o escalar de curvatura de Ricci, e ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$, onde ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional de Newton e ${\displaystyle c}$ é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

Definição

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.

Derivação das equação de campo de Einstein

Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\,R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x.\end{aligned}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Já que estas equação devem obedecer qualquer variação ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }\ }$, isto implica que

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}},}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci

Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda },}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$, a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Agora temos ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }}$ que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,

${\displaystyle \nabla _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })=\partial _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })+\Gamma _{\sigma \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,

${\displaystyle \delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }).}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,

${\displaystyle \delta R_{\mu \nu }\equiv \delta R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }).}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O escalar de Ricci é definido como

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Logo sua variação com respeito a métrica inversa ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ é obtida por

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }\\&=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+\nabla _{\sigma }\left(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho }\right)\end{aligned}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo, ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$.

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

O último termo ${\displaystyle \nabla _{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho })}$ 

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Variação do determinante

A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:

${\displaystyle \,\!\delta g=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde ${\displaystyle g_{\mu \nu }\!}$ é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.

Então obtém-se

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }),\end{aligned}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

e conclui-se que

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Equação de movimento

Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

que é a equação de campo de Einstein e

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.

Constante cosmológica

Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde a equação de campo

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Em física teórica, a teoria da gravitação Brans-Dicke (algumas vezes chamada teoria Jordan-Brans-Dicke) é uma estrutura teórica para explicar a gravitação. É uma competidora bem conhecida da mais popular teoria da relatividade geral de Einstein. É um exemplo de uma teoria escalar-tensor, uma teoria gravitacional na qual a interação gravitacional é mediada por um campo escalar tanto como o campo tensor da relatividade geral.

A teoria foi desenvolvida por Robert H. Dicke e Carl H. Brans ^[1] construída sobre, segundo outros, o trabalho inicial de Pascual Jordan.

No presente, tanto a teoria Brans-Dicke e a relatividade geral são geralmente ligadas geralmente por estar em acordo com as observações, embora as experiências da idade de ouro de relatividade geral confinaram consideravelmente os parâmetros permitidos da teoria de Brans-Dicke. A teoria de Brans-Dicke representa um ponto de vista minoritário em física.

Comparação com relatividade geral

Tanto a teoria Brans-Dicke quanto a relatividade geral são exemplos de teorias de campos clássicas relativísticas da gravitação, chamadas teorias métricas. Nestas teorias, espaço-tempo é equipado com um tensor métrico, ${\displaystyle g_{ab}}$, e o campo gravitacional é representado (por inteiro ou em parte) pelo tensor curvatura de Riemann ${\displaystyle R_{abcd}}$, o qual é determinado pelo tensor métrico.

Todas as teorias métricas satisfazem o princípio de equivalência de Einstein, o qual em linguagem geométrica moderna estabelece que em uma região muito pequena (demasiadamente pequena para exibir efeitos de curvatura), todas as leis da física conhecidas em relatividade especial são válidas em quadros locais de Lorentz. Isto implica por sua vez que todas as teorias métricas exibem o efeito deslocamento para o vermelho gravitacional.

Como na relatividade geral, a fonte do campo gravitacional é considerado como sendo o tensor de energia-momento ou tensor matéria. Entretanto, a maneira pela qual a presença imediata de massa-energia em alguma região afeta o campo gravitacional que a região difere da relatividade geral. Faz-se assim a maneira como a curvatura do espaço-tempo afeta o movimento da matéria. Na teoria Brans-Dicke, em adição à métricas, a qual é uma graduação de dois campos de tensor, existe um campo escalar, ${\displaystyle \phi }$, o qual tem o efeito físico de mudança da constante gravitacional efetiva de lugar a lugar. (Esta apresentação foi então um desideratum de Dicke e Brans; ver o artigo de Brans citado abaixo, o qual esboça as origens da teoria.)

As equações de campo da teoria de Brans-Dicke contém um parâmetro, ${\displaystyle \omega }$, chamado constante de acoplamento Brans-Dicke. Ela é uma verdadeira constante adimensional a qual deve ser escolhida uma vez e para tudo. Entretanto, ela pode ser escolhida para permitir observações. Tais parâmetros são frequentemente chamados parâmetros de tunelamento. Em adição, o valor atual da constante gravitacional efetiva deve ser escolhido como uma condição de contorno. A relatividade geral não contem qualquer parâmetro adimensional, e é conseqüentemente mais fácil de falsear que a teoria de Brans-Dicke. As teorias com parâmetros ajustáveis são depreciadas a princípio às vezes por este princípio, de duas teorias as quais ambas concordam com a observação, a parcimônia é preferível. De um lado, parece como se fosse uma característica necessária de algumas teorias, tais como o "ângulo de mistura fraco" do Modelo Padrão.

A teoria de Brans-Dicke é “menos estrita” do que a relatividade geral em um outro sentido: admite mais soluções. Em particular, as soluções exatas do vácuo das equações de campo de Einstein da relatividade geral, aumentadas pelo campo escalar trivial ${\displaystyle \phi =1}$, transformam-se em soluções exatas do vácuo na teoria de Brans-Dicke, mas alguns espaços-tempos que são não-soluções do vácuo das equações de campo de Einstein tornam-se, com a escolha apropriada do campo escalar, soluções do vácuo de teoria de Brans-Dicke. Similarmente, uma importante classe de espaços-tempos, as métricas de ondas pp, são também soluções nulas de poeira exatas tanto da relatividade geral quanto da teoria de Brans-Dicke, mas aqui também, a teoria de Brans-Dicke permite adicionais soluções de onda que têm as geometrias que são incompatíveis com a relatividade geral.

As equações de campos

As equações de campos da teoria Brans/Dicke são

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi )}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Onde

• ${\displaystyle g_{ab}}$ é o tensor métrico,
• ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$ 

• /

  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = é o tensor de Einstein, um tipo de curvatura média,
• ${\displaystyle R_{ab}={R^{\,m}}_{amb}}$ 

• /

  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = é o tensor de Ricci, um tipo de traço do tensor de curvatura,
• ${\displaystyle R={R^{\,m}}_{m}}$ é o escalar de Ricci, o traço do tensor de Ricci,
• ${\displaystyle T_{ab}}$ é o tensor de energia-impulso,
• ${\displaystyle T}$ é o traço de ${\displaystyle T_{ab}}$,
• ${\displaystyle \phi }$ é o campo escalar,
• ${\displaystyle \Box }$ é o operador de Laplace-Beltrami ou operador covariante de onda, ${\displaystyle \Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a}}$

O princípio de ação

O seguinte Lagrangiano contém a completa descrição da teoria Brans/Dicke:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-\omega {\frac {\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

onde

• ${\displaystyle g}$ é o determinante da métrica,
• ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ é o tetra-dimensional forma volume,
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ é o termo da matéria ou Lagrangiano da matéria.

Equações de campo de Einstein

${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

é a curvatura escalar. O próprio tensor de Ricci está relacionado com o tensor de curvatura de Riemann mais geral

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }.\,}$

/

G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  = 

Do lado direito, ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ é o tensor energia-momento. Todos os tensores são escritos em notação de índices abstratos.^[32] Combinando a previsão da teoria com resultados observacionais para órbitas planetárias ou, equivalentemente, assegurando que o limite de gravidade fraca e baixa velocidade é a mecânica newtoniana, a constante de proporcionalidade pode ser fixada como κ = 8πG/c⁴, com G a constante gravitacional e c a velocidade da luz.^[33] Quando não há nenhuma matéria presente, de modo que o tensor de energia-momento desaparece, os resultados são as equações de vácuo de Einstein,

Do lado esquerdo está o tensor de Einstein, uma combinação específica livre de divergência do tensor de Ricci ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ e da métrica. Onde ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ é simétrico. Em particular,